Question

9．已知函数f（x）=-2x³+3x²+12x-11，g（x）=kx+9，如果f（x）≤g（x）在[-2，+∞）上恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 如果f（x）≤g（x）在[-2，+∞）上恒成立，则对x的取值进行分类讨论，利用孤立参数法，结合导数法，可各各种情况下k的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：若f（x）≤g（x）恒成立，
则-2x³+3x²+12x-11≤kx+9恒成立，
当x=0时，-11≤9恒成立，k∈R；
当-2≤x＜0时，有k≤-2x²+3x+12-$\frac{20}{x}$，
设h（x）=-2x²+3x+12-$\frac{20}{x}$=-2$（x-\frac{3}{4}）^{2}$+$\frac{105}{8}$-$\frac{20}{x}$，
当-2≤x＜0时，y=-2$（x-\frac{3}{4}）^{2}$+$\frac{105}{8}$为增函数，y=-$\frac{20}{x}$也为增函数，
故h（x）为增函数，
∴h（x）≥h（-2）=8，
即k≤8
当x＞0时，令f′（x）=-6x²+6x+12=0，解得x=-1，x=2，
当x∈（0，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，
故当x=2时，函数取最大值9，∈∞
若f（x）≤g（x）恒成立，
则k≥0，
综上所述，0≤k≤8，
即满足f（x）≤g（x）恒成立的k的取值范围为[0，8]

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，函数恒成立问题，难度较大，分类比较复杂，属于难题．