Question

14．定义在R上的奇函数f（x）的导函数满足f′（x）＜f（x），且f（x）•f（x+3）=-1，若f（2015）=-e，则不等式f（x）＜e^x的解集为{0}∪（1，+∞）．．

Answer 1

分析 由题意知，f（，1）=1，再令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$（x∈R），从而求导g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，从而可判断y=g（x）单调递减，从而可得到不等式的解集

解答 解：∵f（x）•f（x+3）=-1，
∴f（x+3）=-$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+6）=-$\frac{1}{f（x+3）}$=f（x），
即f（x）的周期为6，
∵f（2015）=-e，
∴f（2015）=f（-1）=-e，
∵定义在R上的奇函数f（x），
∴f（1）=e，

①f（x）≠0时，令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＜f（x），
∴g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0．
即g（x）单调递减，
g（1）=$\frac{f（1）}{e}$=1，
∵g（x）＜1=g（1），
∴x＞1，
∴不等式f（x）＜e^x的解集为（1，+∞）
②∵x=0时，f（0）=0＜e⁰=1
∴x=0时，不等式成立．
故答案为{0}∪（1，+∞）

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题