Question

4．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若a=2bcosA，B=$\frac{π}{3}$，c=1，则△ABC的面积等于（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{8}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由已知及正弦定理化简已知等式可得tanA=$\sqrt{3}$，结合A为三角形内角，可得A=B=C=$\frac{π}{3}$，由三角形面积公式即可得解．

解答 解：∵a=2bcosA，
∴由正弦定理可得：sinA=2sinBcosA，
∵B=$\frac{π}{3}$，可得sinA=$\sqrt{3}$cosA，
∴解得tanA=$\sqrt{3}$，A为三角形内角，可得A=$\frac{π}{3}$，C=π-A-B=$\frac{π}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．