Question

19．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{12}$

Answer 1

分析 根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO₁，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．

解答 解：根据题意作出图形：
设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O₁，则OO₁⊥平面ABC，
延长CO₁交球于点D，则SD⊥平面ABC．
∵CO₁=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OO₁=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴高SD=2OO₁=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴V_{三棱锥S-ABC}=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
故选：C．

点评 本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．