Question

8．已知函数f（x）=A（sin$\frac{x}{2}$cosφ+cos$\frac{x}{2}$sinφ）（A＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最大值是2，且f（0）=1．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，f（2A）=2，2bsinC=$\sqrt{2}$c．求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角和公式对函数解析式化简整理，根据最大值求得A，根据f（0）求得φ的值．
（Ⅱ）根据f（2A）求得A，进而根据2bsinC=$\sqrt{2}$c求得sinB，求得B，利用两角和公式求得sinC，最后代入三角形面积公式求得答案．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=A（sin$\frac{x}{2}$cosφ+cos$\frac{x}{2}$sinφ）=Asin（$\frac{x}{2}$+φ），
f（x）_max=A=2，
∵$f（0）=2sinφ=1，0＜φ＜\frac{π}{2}∴φ=\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$f（x）=2sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）$，
$f（2A）=2sin（A+\frac{π}{6}）=2$，
又因为锐角△ABC中$0＜A＜\frac{π}{2}$，∴$A=\frac{π}{3}$，
∵2bsinC=$\sqrt{2}$c．
∴2sinBsinC=$\sqrt{2}$sinC，
sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵B为锐角，
∴B=$\frac{π}{4}$，
∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，
∴b=$\frac{a}{sinA}$•sinB=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$
∵$sinC=sin（A+B）=\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{4}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×2×\frac{{2\sqrt{6}}}{3}×\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{4}=1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，三角函数恒等变换的应用．要求学生对三角函数的基础知识扎实掌握，并能运用自如．