Question

20．已知定义在R上的函数f（x）满足：（1）f（x）+f（2-x）=0，（2）f（x-2）=f（-x），（3）在[-1，1]上表达式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，x∈[-1，0]\\ cos（\frac{π}{2}x），x∈（0，1]\end{array}$，则函数f（x）与函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤0}\\{1-x，x＞0}\end{array}\right.$的图象区间[-3，3]上的交点个数为（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 由题意可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称，又关于直线x=-1对称；再结合g（x）的解析式画出这2个函数区间[-3，3]上的图象，数形结合可得它们的图象区间[-3，3]上的交点个数．

解答 解：由f（x）+f（2-x）=0，可得函数f（x）的图象
关于点M（1，0）对称．
由f（x-2）=f（-x），可得函数f（x）的图象
关于直线x=-1对称．
又f（x）在[-1，1]上表达式为
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，x∈[-1，0]\\ cos（\frac{π}{2}x），x∈（0，1]\end{array}$，
可得函数f（x）在[-3，3]上的图象以及函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤0}\\{1-x，x＞0}\end{array}\right.$在[-3，3]上的图象，
数形结合可得函数f（x）的图象与函数g（x）的图象区间[-3，3]上的交点个数为6，
故选：B．

点评 本题主要考查函数的图象的对称性，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．