Question

11．设函数f（x）=e^x（lnx-a），e是自然对数的底数，e≈2.718…，a∈R且为常数．
（1）若y=f（x）在x=1处的切线的斜率为2e，求a的值；
（2）若y=f（x）在区间[ln2，ln3]上为单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对函数进行求导，由f'（1）=2e求得a
（2）由[ln2，ln3]是y=f（x）的一个单调区间当且仅当f′（x）在[ln2，ln3]上恒大于等于零，或恒小于等于零．注意对对数h（ln2）和h（ln3）的大小比较有两种方法：
方法一：利用作差法比较h（ln2）和h（ln3）的大小，
方法二：构造新函数$p（x）=2lnx-x+\frac{1}{x}$，利用新函数的单调性比较大小

解答 解：（1）$f'（x）={e}^{x}（lnx-a+\frac{1}{x}）$…（1分）
依题意，k=f'（1）=e¹（ln1-a+1）=2e，解得a=-1…（2分）
（2）$f'（x）={e}^{x}（lnx-a+\frac{1}{x}）$，[ln2，ln3]是y=f（x）的一个单调区间．
当且仅当f′（x）在[ln2，ln3]上恒大于等于零，或恒小于等于零，
由e^x＞0，作$h（x）=lnx+\frac{1}{x}$，${h^/}（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$，由${h^/}（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=0$得x=1…（7分）
列表如下：

x	[ln2，1）	1	（1，ln3]
h′（x）	-	0	+
h（x）	↘	最小值	↗

…（9分）
h（x）在[ln2，ln3]上的最小值为m=1，
所以，当且仅当a≤1时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递增…（11分）
下面比较h（ln2）与h（ln3）的大小
（方法一）由2³＜3²＜e³，$2＜{3^{\frac{2}{3}}}＜e$，$ln2＜\frac{2}{3}ln3＜1$
又h（x）在[ln2，1）上单调递减得$h（ln2）＞h（\frac{2}{3}ln3）$…（12分）
$h（ln2）-h（ln3）＞h（\frac{2}{3}ln3）-h（ln3）=ln\frac{2}{3}+\frac{1}{2ln3}=\frac{{1-ln3ln\frac{9}{4}}}{2ln3}$…（13分）
$ln3ln\frac{9}{4}＜\frac{1}{4}{（ln3+ln\frac{9}{4}）^2}=\frac{1}{4}{（ln\frac{27}{4}）^2}＜\frac{1}{4}{（ln7）^2}＜\frac{1}{4}{（ln{e^2}）^2}=1$，
∴h（ln2）＞h（ln3），当且仅当$a≥lnln2+\frac{1}{ln2}$时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递减，
综上所述，a的取值范围为$（-∞，1]∪[lnln2+\frac{1}{ln2}，+∞）$…（14分）
（方法二）由$ln2ln3＜{（\frac{ln2+ln3}{2}）^2}={（\frac{ln6}{2}）^2}＜1$，$0＜ln2＜\frac{1}{ln3}＜1$，
以及$h（x）=lnx+\frac{1}{x}$的单调性知，$lnln2+\frac{1}{ln2}＞-lnln3+ln3$…（12分）
由${（2lnx-x+\frac{1}{x}）^/}=\frac{2}{x}-1-{（\frac{1}{x}）^2}=-{（1-\frac{1}{x}）^2}≤0$知，
$p（x）=2lnx-x+\frac{1}{x}$单调递减…（13分）
由ln3＞1得$2lnln3x-ln3+\frac{1}{ln3}＜p（1）=0$，$-lnln3+ln3＞lnln3+\frac{1}{ln3}$，$lnln2+\frac{1}{ln2}＞lnln3+\frac{1}{ln3}$，
∴h（ln2）＞h（ln3），当且仅当$a≥lnln2+\frac{1}{ln2}$时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递减，
综上所述，a的取值范围为$（-∞，1]∪[lnln2+\frac{1}{ln2}，+∞）$…（14分）
（“单调递增…（11分）”以下，若直接写$a≥max\left\{{lnln2+\frac{1}{ln2}，lnln3+\frac{1}{ln3}}\right\}$，再给1分）

点评 本题主要考查导数的几何意义和导数在单调性中得应用和用其求参数范围的方法，属于难题．