Question

1．已知x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{2x-y-5≤0}\\{x+y-4≥0}\end{array}\right.$．
（1）求x²+y²的最大值和最小值；
（2）求z=$\frac{y-1}{x+1}$的取值范围；
（3）求z=|x+2y-4|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{2x-y-5≤0}\\{x+y-4≥0}\end{array}\right.$，画出可行域：联立分别解得B（7，9），同理解得A（3，1），C（1，3）．可得（x²+y²）_min=|OD|²，（x²+y²）_max=|OC|²．
（2）z=$\frac{y-1}{x+1}$表示可行域中的任意一点P（x，y）与点Q（-1，1）的连线的斜率，利用k_OC≤z≤k_OA，即可得出．
（3）设x+2y-4=t，则y=$-\frac{1}{2}x$+$\frac{1}{2}t$+2，把点A（3，1）、B（7，9）分别代入即可得出．

解答 解：（1）由x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{2x-y-5≤0}\\{x+y-4≥0}\end{array}\right.$，画出可行域：
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}\right.$，解得B（7，9），
同理解得A（3，1），C（1，3），可得线段AC的中点D（2，2）．
则（x²+y²）_min=|OD|²=2²+2²=8，
（x²+y²）_max=|OC|²=7²+9²=130．
（2）z=$\frac{y-1}{x+1}$表示可行域中的任意一点P（x，y）与点Q（-1，1）的连线的斜率，因此k_OC≤z≤k_OA，
k_OC=3，k_OA=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{3}≤z≤3$．
∴z=$\frac{y-1}{x+1}$的取值范围是$[\frac{1}{3}，3]$．
（3）设x+2y-4=t，
则y=$-\frac{1}{2}x$+$\frac{1}{2}t$+2，
把点A（3，1）代入可得：t=1；
把点B（7，9）代入可得：t=21．
∴1≤t≤21，
∴1≤|t|≤21，
∴z∈[1，21]．

点评 本题考查了线性规划有关知识、斜率计算公式、截距的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．