Question

9．已知椭圆：3x²+y²=λ（λ＞0）．
（1）点N（1，3），过点N作一直线l交椭圆与A，B两点，使N为AB的中点，求λ的范围；
（2）在（1）条件下，过N作AB的垂线l₂，交椭圆于C，D两点，是否存在λ使得A，B，C，D共圆．

Answer 1

分析 （1）由题意，N在椭圆内，则3+9＜λ，可求λ的范围；
（2）求出A，C，D的坐标，证明$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{DA}$=0，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，N在椭圆内，则3+9＜λ，所以λ＞12；
（2）∵CD垂直平分AB，
∴直线CD的方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4x²+4x+4-λ=0．①
将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程整理得4x²-8x+16-λ=0．②
解①和②式可得x_1，2=$\frac{2±\sqrt{λ-12}}{2}$，x_3，4=$\frac{-1±\sqrt{λ-3}}{2}$，
不妨设A（1+$\frac{\sqrt{λ-12}}{2}$，3-$\frac{\sqrt{λ-12}}{2}$），
C（$\frac{-1-\sqrt{λ-3}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{λ-3}}{2}$），D（$\frac{-1+\sqrt{λ-3}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{λ-3}}{2}$）．
∴$\overrightarrow{CA}$=（$\frac{3+\sqrt{λ-12}+\sqrt{λ-3}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{λ-12}+\sqrt{λ-3}}{2}$），
$\overrightarrow{DA}$=（$\frac{3+\sqrt{λ-12}-\sqrt{λ-3}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{λ-12}-\sqrt{λ-3}}{2}$），
计算可得$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{DA}$=0，
∴A在以CD为直径的圆上．
又B为A关于CD的对称点，
∴A、B、C、D四点共圆．

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．