Question

8．实数x，y，k满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{x-y+1≥0}\\{x≤k}\end{array}\right.$，z=x²+y²，若z的最大值为13，则k的值为2．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图；则k＞1，
则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，
由图象知，O到A的距离最大，
∵z=x²+y²的最大值为13，
∴O到A的距离最大为d=$\sqrt{13}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=k}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=k}\\{y=k+1}\end{array}\right.$，
即A（k，k+1），
则OA=$\sqrt{{k}^{2}+（k+1）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
即2k²+2k+1=13，
即k²+k-6=0，解得k=2或k=-3（舍），
故k=2，
故答案为：2

点评 本题主要考查线性规划以及点到直线的距离的应用，利用数形结合是解决本题的关键．