Question

19．函数$f（x）=\sqrt{|x+1|+|x+2|-a}$．
（1）a=5，函数f（x）的定义域A；
（2）设B={x|-1＜x＜2}，当实数a，b∈（B∩C_RA）时，证明：$\frac{|a+b|}{2}＜|1+\frac{ab}{4}|$．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的几何意义即可求出，
（2）先两边平方，再利用做差法进行比较即可．

解答 解：（1）由|x+1|+|x+2|-5≥0，|x+1|+|x+2|≥5得到得A={x|x≤-4或x≥1}，
（2）由A={x|x≤-4或x≥1}，
∴C_RA=（-4，1），
∵B={x|-1＜x＜2}，
∴B∩C_RA=（-1，1），
又$\frac{|a+b|}{2}＜|1+\frac{ab}{4}|?2|a+b|＜|4+ab|$
而4（a+b）²-（4+ab）²=4（a²+2ab+b²）-（16+8ab+a²b²）=4a²+4b²-a²b²-16=a²（4-b²）+4（b²-4）=（b²-4）（4-a²），
∵a，b∈（-1，1），
∴（b²-4）（4-a²）＜0
∴4（a+b）²＜（4+ab）²，
∴2|a+b|＜|4+ab|
∴$\frac{|a+b|}{2}＜|1+\frac{ab}{4}|$，

点评 本题考查绝对值的几何意义，集合的基本运算，以及不等式的证明，属于中档题．