Question

9．已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．
（Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8；
（Ⅱ）证明：$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}≤\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用$1+a≥2\sqrt{a}，1+b≥2\sqrt{b}，1+c≥2\sqrt{c}$，相乘即可证明结论．
（Ⅱ）利用$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=ab+bc+ac$，$ab+bc≥2\sqrt{a{b^2}c}=2\sqrt{b}$，$ab+ac≥2\sqrt{{a^2}{b^{\;}}c}=2\sqrt{a}$，$bc+ac≥2\sqrt{a{b^{\;}}{c^2}}=2\sqrt{c}$，相加证明即可．

解答 证明：（Ⅰ）$1+a≥2\sqrt{a}，1+b≥2\sqrt{b}，1+c≥2\sqrt{c}$，
相乘得：（1+a）（1+b）（1+c）≥8abc=8．
实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（1+a）（1+b）（1+c）≥8------（5分）
（Ⅱ）$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=ab+bc+ac$，
$ab+bc≥2\sqrt{a{b^2}c}=2\sqrt{b}$，
$ab+ac≥2\sqrt{{a^2}{b^{\;}}c}=2\sqrt{a}$，
$bc+ac≥2\sqrt{a{b^{\;}}{c^2}}=2\sqrt{c}$，
相加得：$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}≤\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$------（10分）

点评 本题考查综合法证明不等式的方法的应用，考查逻辑推理能力．