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    1．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率为$\frac{1}{2}$，直线y=x+1被以椭圆的短轴为直径的圆截得弦长为$\sqrt{10}$，抛物线D以原点为顶点，椭圆的右焦点为焦点．
    （Ⅰ）求椭圆C与抛物线D的方程；
    （Ⅱ）已知A，B是椭圆C上两个不同点，且OA⊥OB，判定原点O到直线AB的距离是否为定值，若为定值求出定值，否则，说明理由．

    分析 （Ⅰ）利用离心率a=2c，椭圆短轴为直径的圆的圆心到直线y=x+1距离d=$\frac{1}{{\sqrt{2}}}$，求解解得a，c，求出p，
    即可得到椭圆C的方程，抛物线D方程．
    （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB与x轴垂直时，设AB：x=m，则$y=±\frac{{\sqrt{12-3{m^2}}}}{2}$，利用OA⊥OB，求出m，推出原点到直线AB的距离．当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m代入3x2+4y2-12=0，利用韦达定理以及判别式大于0，利用向量数量积为0，求解即可．

    解答 解：（Ⅰ）由题知$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，椭圆短轴为直径的圆的圆心到直线y=x+1距离d=$\frac{1}{{\sqrt{2}}}$，
    ∴$\sqrt{10}$=$2\sqrt{{b^2}-\frac{1}{2}}$，解得b=$\sqrt{3}$，∴a2=$3+\frac{a^2}{4}$，解得a2=4，∴c=1，∴$\frac{p}{2}$=1，∴p=2，
    ∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，抛物线D方程为y2=4x；  5分
    （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB与x轴垂直时，设AB：x=m，则$y=±\frac{{\sqrt{12-3{m^2}}}}{2}$，
    ∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x1x2+y1y2=${m^2}-\frac{{12-3{m^2}}}{4}$=0，解得m=$±\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，
    ∴原点到直线AB的距离为$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．     7分．
    当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m代入3x2+4y2-12=0整理得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，
    则△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，即4k2-m2+3＞0，x1+x2=$-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}$，x1x2=$\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
    ∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=${k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$=$\frac{{3{m^2}-12{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，
    ∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x1x2+y1y2=$\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$+$\frac{{3{m^2}-12{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$=0，即7m2=12（k2+1），
    且满足△＞0，10分
    ∴原点到直线AB的距离为$\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$=$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，11分
    故原点O到直线AB的距离为定值，定值为$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$． 12分．

    点评 本题考查向量与解析几何相联系，抛物线以及椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．

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