Question

13．已知函数f（x）=x²+|x+1-a|，其中a为实常数，在x（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）单调递增，求a的范围．

Answer 1

分析 分类得出（1）当x≥a-1时，函数f（x）=（x+$\frac{1}{2}$）²$+\frac{3}{4}$-a，其中a为实常数，利用单调性得出a-1$≤-\frac{1}{2}$，求解即可
（2）当x＜a-1时，函数f（x）=x²-x-1+a，其中a为实常数，f（x）=（x$-\frac{1}{2}$）²$-\frac{3}{4}$+a，判断在x（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）单调递增，不符合题意，总结可得出答案．

解答 解：（1）当x≥a-1时，函数f（x）=x²+|x+1-a|，其中a为实常数，
f（x）=（x+$\frac{1}{2}$）²$+\frac{3}{4}$-a，
∵在x（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）单调递增，
∴a-1$≤-\frac{1}{2}$，即a$≤\frac{1}{2}$，
（2）当x＜a-1时，函数f（x）=x²-x-1+a，其中a为实常数，
f（x）=（x$-\frac{1}{2}$）²$-\frac{3}{4}$+a，
∴在x（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）单调递减函数，
即可得出：不符合题意．
综上：a$≤\frac{1}{2}$

点评 本题考查了分类思想的运用，二次函数的性质，不等式的运用，属于中档题．