Question

2．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+1（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，图象过点P（0，1）
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数 g（x）=f（x）+cos2x-1，将函数 g（x）图象上所有的点向右平行移动$\frac{π}{4}$个单位长度后，所得的图象在区间（0，m）内是单调函数，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中函数f（x）的最小正周期为π，图象过点P（0，1），求出ω，φ的值，可得函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函数 g（x）=f（x）+cos2x-1的解析式及将函数 g（x）图象上所有的点向右平行移动$\frac{π}{4}$个单位长度后的解析式，结合正弦函数的图象和性质及所得的图象在区间（0，m）内是单调函数，可得m的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）+1（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2，
又由函数f（x）的图象过点P（0，1），
∴sinφ=0，
∴φ=0，
∴函数f（x）=sin2x+1；
（Ⅱ）∵函数 g（x）=f（x）+cos2x-1=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
将函数 g（x）图象上所有的点向右平行移动$\frac{π}{4}$个单位长度后，
所得函数的解析式是：h（x）=$\sqrt{2}$sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∵x∈（0，m），
∴2x-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，2m-$\frac{π}{4}$），
又由h（x）在区间（0，m）内是单调函数，
∴2m-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$，即m≤$\frac{3π}{8}$，
即实数m的最大值为$\frac{3π}{8}$．

点评 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换，熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答的关键．