Question

10．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，$\sqrt{2}$），且离心率等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于P，Q不同两点，点N在线段PQ上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设$\overrightarrow{PM}$=-λ$\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{MQ}$=λ$\overrightarrow{NQ}$，试求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，利用A（0，$\sqrt{2}$），b²=2，由离心率，解得a²=8，得到椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），若直线l与y轴重合，求出$λ=\sqrt{2}$；若直线l与y轴不重合，则设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立利用韦达定理，化简$\frac{{|\overrightarrow{PM}|}}{{|\overrightarrow{PN}|}}=\frac{{|\overrightarrow{MQ}|}}{{|\overrightarrow{NQ}|}}$求出λ的表达式，然后求解其范围．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$
因为它的一个顶点为A（0，$\sqrt{2}$），所以b²=2，由离心率等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
得$\sqrt{\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得a²=8，
所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），若直线l与y轴重合，则$\frac{{|\overrightarrow{PM}|}}{{|\overrightarrow{PN}|}}=\frac{{|\overrightarrow{MQ}|}}{{|\overrightarrow{NQ}|}}=\frac{{2-\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}-{y_0}}}=\frac{{2+\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}+{y_0}}}$，得y₀=1，得$λ=\sqrt{2}$；
若直线l与y轴不重合，则设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，得${x_1}+{x_2}=-\frac{16k}{{1+4{k^2}}}$①，
${x_1}{x_2}=\frac{8}{{1+4{k^2}}}$②，
由$\frac{{|\overrightarrow{PM}|}}{{|\overrightarrow{PN}|}}=\frac{{|\overrightarrow{MQ}|}}{{|\overrightarrow{NQ}|}}$得$\frac{{0-{x_1}}}{{{x_1}-{x_0}}}=\frac{{0-{x_2}}}{{{x_0}-{x_2}}}$，整理得2x₁x₂=x₀（x₁+x₂），
将①②代入得${x_0}=-\frac{1}{k}$，又点N（x₀，y₀）在直线l上，
所以${y_0}=k×（-\frac{1}{k}）+2=1$，
于是有$1＜{y_1}＜\sqrt{2}$，
因此$λ=\frac{{2-{y_1}}}{{{y_1}-1}}=\frac{{1-{y_1}+1}}{{{y_1}-1}}=\frac{1}{{{y_1}-1}}-1$，
由$1＜{y_1}＜\sqrt{2}$得$\frac{1}{{{y_1}-1}}＞\sqrt{2}+1$，所以$λ＞\sqrt{2}$，
综上所述，有$λ≥\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．