Question

15．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ=acosθ．直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+2}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.（t为参数）$，曲线C与直线l一个交点的横坐标为3-$\sqrt{7}$．
（Ⅰ）求a的值及曲线C的参数方程；
（Ⅱ）求曲线C与直线l相交所成的弦的弦长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把曲线C的极坐标方程、直线l的参数方程化为普通方程，由曲线C与直线l一个交点的横坐标求出对应的纵坐标，即可求出a的值以及曲线C的普通方程，再化普通方程为参数方程即可；
（Ⅱ）由曲线C表示圆，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出对应的弦长．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程ρ=acosθ可化为ρ²=aρcosθ，
化为一般方程是x²+y²=ax，
直线l的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+2}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.（t为参数）$，
消去参数t，得x-y=2；
又曲线C与直线l一个交点的横坐标为3-$\sqrt{7}$，
∴对应的纵坐标为y=x-2=1-$\sqrt{7}$；
∴a=$\frac{{x}^{2}{+y}^{2}}{x}$=x+$\frac{{y}^{2}}{x}$=（3-$\sqrt{7}$）+$\frac{{（1-\sqrt{7}）}^{2}}{3-\sqrt{7}}$=（3-$\sqrt{7}$）+（5+$\sqrt{7}$）=8；
∴曲线C的一般方程为x²+y²=8x，
即（x-4）²+y²=16；
又设$\frac{x-4}{4}$=cosα，$\frac{y}{4}$=sinα，
∴x=4+4cosα，y=4sinα；
即曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4+4cosα}\\{y=4sinα}\end{array}\right.$（α为参数）；…（3分）
（Ⅱ）∵曲线C表示圆C，且圆C的圆心为（4，0），
圆心到直线的距离为$d=\sqrt{2}$，
∴所求的弦长为
2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=$2\sqrt{{4^2}-{{（{\sqrt{2}}）}^2}}=2\sqrt{14}$．（7分）

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，是综合性题目．