Question

4．已知双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y²=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△ABO的面积为$\sqrt{3}$，则p的值为（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的渐近线方程与抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为$\sqrt{3}$，列出方程，由此方程求出p的值．

解答 解：∵双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），
∴双曲线的渐近线方程是y=±$\frac{a}{b}$x
又抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程是x=-$\frac{p}{2}$，
故A，B两点的纵坐标分别是y=±$\frac{pa}{2b}$，
又由双曲线的离心率为2，所以$\frac{c}{a}$=2，则$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，
A，B两点的纵坐标分别是y=±$\frac{\sqrt{3}p}{6}$，
又△AOB的面积为$\sqrt{3}$，x轴是角AOB的角平分线，
∴$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}p×\frac{p}{2}=\sqrt{3}$，得p=2$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．