Question

16．已知函数f（x）=$\overrightarrow{m}$.$\overrightarrow{n}$，且$\overrightarrow{m}$=（sinωx+cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），$\overrightarrow{n}$=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若函数f（x）相邻两对称轴的距离大于等于$\frac{π}{2}$．
（1）求ω的取值范围；
（2）在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，当ω最大时，f（A）=1，且a=$\sqrt{3}$，求c+b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），化简函数解析式为正弦型函数的形式，进而结合相邻两对称轴的距离大于等于$\frac{π}{2}$．可得f（x）的最小正周期，求出ω的取值范围；
（2）由正弦定理可得b=2sinB，c=2sinC，再由B，C的关系，求得B的范围，结合两角和的正弦公式，以及正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=cos²ωx-sin²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx
=cos2ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx=2（$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
由题意得$\frac{T}{2}$≥$\frac{π}{2}$，即T≥π，
又∵ω＞0，
∴$\frac{2π}{2ω}$≥π，
∴0＜ω≤1；
（2）当ω最大时，即有ω=1，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜$\frac{π}{2}$，∴2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=2，
则b=2sinB，c=2sinC，
b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin（$\frac{2π}{3}$-B）
=$\sqrt{3}$cosB+3sinB=2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
在锐角三角形ABC中，0$＜B＜\frac{π}{2}$，0＜$C＜\frac{π}{2}$，
即有0＜$\frac{2π}{3}$-B＜$\frac{π}{2}$，可得$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，
可得$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1，即有3＜2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）≤2$\sqrt{3}$，
则b+c的取值范围是（3，2$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算，正弦定理和余弦定理，是三角函数与向量的综合应用，难度中档．