Question

3．数列{a_n}满足a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，并且a_n（a_n-1+a_n+1）=2a_n+1a_n-1（n≥2），则该数列的第2015项为（　　）

• A． $\frac{1}{2014}$
• B． $\frac{1}{{2}^{2014}}$
• C． $\frac{1}{2015}$
• D． $\frac{1}{{2}^{2015}}$

Answer 1

分析 利用递推关系式推出{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列，然后求出结果即可．

解答 解：∵a_n（a_n-1+a_n+1）=2a_n+1a_n-1（n≥2），
∴a_na_n-1+a_na_n+1=2a_n+1a_n-1（n≥2），
两边同除以a_n-1a_na_n+1得：$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，
即数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列，
∵a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的公差d=$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=n，∴a_n=$\frac{1}{n}$，
即a₂₀₁₅=$\frac{1}{2015}$，
故选：C．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，判断数列是等差数列是解题的关键，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．