Question

11．设集合A={（x，y）|（x-3）²+（y-4）²=$\frac{4}{5}$}，B={（x，y）|（x-3）²+（y-4）²=$\frac{16}{5}$}，C={（x，y）|2|x-3|+|y
-4|=λ}，若（A∪B）∩C≠∅，则实数λ的取值范围是[$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，4]．

Answer 1

分析 集合A，B表示以（3，4）点为圆心，半径分别为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$的圆，集合C在λ＞0时，表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形，若（A∪B）∩C≠∅，则菱形与A或B圆有交点，进而可得实数λ的取值范围．

解答 解：集合A={（x，y）|（x-3）²+（y-4）²=$\frac{4}{5}$}表示以（3，4）点为圆心半径为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$的圆，
集合B={（x，y）|（x-3）²+（y-4）²=$\frac{16}{5}$}表示以（3，4）点为圆心半径为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$的圆，
集合C={（x，y）|2|x-3|+|y-4|=λ}在λ＞0时，表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形，
如下图所示：

若（A∪B）∩C≠∅，则菱形与A或B圆有交点，
当λ＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，菱形在小圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；
当菱形与大圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x-3|+|y-4|=λ任一边的距离等于大于半径$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y-（10+λ）=0，
由d=$\frac{|10-（10+λ）|}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$得：λ=4，
故λ＞4时，两圆均在菱形内部，与菱形无交点，不满足答案；
综上实数λ的取值范围是（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，4]，
故答案为：[$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，4]

点评 本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键．