Question

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（x）=sin2xcosB-2cos²xsinB+sinB，x∈R，函数f（x）的图象关于直线$x=\frac{5π}{12}$对称．
（Ⅰ）当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，求函数f（x）的最大值并求相应的x的值；
（Ⅱ）若b=3且$sinA+sinC=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 首先利用二倍角公式及两角差的正弦化简．
（Ⅰ）把$x=\frac{5π}{12}$代入，得$2×\frac{5π}{12}-B=kπ+\frac{π}{2}$，解得B，再由角B的范围求出具体角B，结合$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$求得函数f（x）的最大值并求相应的x的值；
（Ⅱ）由正弦定理及和比定理结合已知求得a+c，结合余弦定理求得ac=$\frac{7}{3}$，代入三角形面积公式求△ABC的面积．

解答 解：f（x）=sin2xcosB-2cos²xsinB+sinB=sin2xcosB-（1+cos2x）sinB+sinB=sin（2x-B）．
（Ⅰ）由函数f（x）的图象关于直线$x=\frac{5π}{12}$对称，知$2×\frac{5π}{12}-B=kπ+\frac{π}{2}$，解得B=-kπ$+\frac{π}{3}$（k∈Z），
又B∈（0，π），∴当k=0时，B=$\frac{π}{3}$；
当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，$-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，
于是当$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即x=$\frac{5π}{12}$时，函数f（x）的最大值为1；
（Ⅱ）由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{a+c}{sinA+sinC}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$，
又$sinA+sinC=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，得$a+c=2\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{3}}{3}=4$，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
解得ac=$\frac{7}{3}$，
于是△ABC的面积为$\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×\frac{7}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．