Question

13．在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.（φ$为参数）．以o为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）若将圆C向左平移一个单位，再经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上任一点，求x²-$\sqrt{3}$xy+2y²的最小值，并求相应点M的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用sin²φ+cos²φ=1可把圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.（φ$为参数），化为直角坐标方程，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得极坐标方程；
（Ⅱ）将圆C向左平移一个单位，得到圆的方程为x²+y²=4，经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$得到曲线C′的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，设M为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，代入x²-$\sqrt{3}$xy+2y²化简整理，利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.（φ$为参数），化为（x-1）²+y²=4，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得：ρ²=2ρcosθ+3．
（Ⅱ）将圆C向左平移一个单位，得到圆的方程为x²+y²=4，
经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$得到曲线C′的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
设M为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，则${x}^{2}-\sqrt{3}xy+2{y}^{2}$=3+$2cos（2θ+\frac{π}{3}）$，
∴当M为$（1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$或$（-1，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，x²-$\sqrt{3}$xy+2y²的最小值为1．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程、图象变换、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．