Question

8．若关于x的函数f（x）=$\frac{{2t{x^2}+\sqrt{2}tsin（{x+\frac{π}{4}}）+x}}{{2{x^2}+cosx}}$（t≠0）的最大值为a，最小值为b，且a+b=2，则实数t的值为1．

Answer 1

分析 函数f（x）可化为t+$\frac{tsinx+x}{2{x}^{2}+cosx}$，令g（x）=$\frac{tsinx+x}{2{x}^{2}+cosx}$，则g（-x）=-g（x），设g（x）的最大值为M，最小值为N，则M+N=0，
由f（x）的最大值和最小值，解方程即可得到t=1．

解答 解：函数f（x）=$\frac{{2t{x^2}+\sqrt{2}tsin（{x+\frac{π}{4}}）+x}}{{2{x^2}+cosx}}$（t≠0）
=$\frac{2t{x}^{2}+\sqrt{2}t（\frac{\sqrt{2}}{2}sinx+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx）+x}{2{x}^{2}+cosx}$=$\frac{t（2{x}^{2}+cosx）+（tsinx+x）}{2{x}^{2}+cosx}$
=t+$\frac{tsinx+x}{2{x}^{2}+cosx}$，
令g（x）=$\frac{tsinx+x}{2{x}^{2}+cosx}$，则g（-x）=$\frac{-tsinx-x}{2{x}^{2}+cosx}$=-g（x），
设g（x）的最大值为M，最小值为N，
则M+N=0，
即有t+M=a，t+N=b，
a+b=2t+M+N=2t=2，
解得t=1．
故答案为：1．

点评 本题考查函数的奇偶性及运用，考查三角函数的诱导公式和运算能力，属于中档题．