Question

18．已知（x-$\sqrt{2}$）²⁰¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₅x²⁰¹⁵，则（a₀+a₂+a₄…+a₂₀₁₄）²-（a₁+a₃+a₅…+a₂₀₁₅）²=
1．

Answer 1

分析 分别在原二项式中取x=1，-1，得到a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₅=$（1-\sqrt{2}）^{2015}$，a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₅=$（-1-\sqrt{2}）^{2015}$，然后把要求解的式子展开平方差公式得答案．

解答 解：由（x-$\sqrt{2}$）²⁰¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₅x²⁰¹⁵，
取x=1，得a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₅=$（1-\sqrt{2}）^{2015}$，
取x=-1，得a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₅=$（-1-\sqrt{2}）^{2015}$，
∴（a₀+a₂+a₄…+a₂₀₁₄）²-（a₁+a₃+a₅…+a₂₀₁₅）²
=（a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₅）（a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₅）=$（1-\sqrt{2}）^{2015}$×$（-1-\sqrt{2}）^{2015}$=1，
故答案为：1．

点评 本题考查二项式系数的性质，考查了特殊值法，训练了学生的灵活变形能力，是中档题．