Question

3．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若A=2B，a=6，b=4，则c=5．

Answer 1

分析 由A=2B，a=6，b=4，则sinA=sin2B=2sinBcosB，运用正弦定理和余弦定理，计算解方程可得c=4或5，再由最大边所对角最大，运用余弦定理，即可判断．

解答 解：由A=2B，a=6，b=4，
则sinA=sin2B=2sinBcosB，
由正弦定理和余弦定理可得，
a=2b•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
即有36c=4（36+c²-16），
解得c=4或5，
当c=4时，a最大，由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$
=$\frac{16+16-36}{2×4×4}$＜0，即A为钝角，不合题意，舍去；
当c=5时，a最大，由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$
=$\frac{16+25-36}{2×4×5}$＞0，即A为锐角，合题意．
故答案为：5．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查三角函数的化简，考查运算能力，属于中档题．