Question

11．设直线x+y=1与抛物线y²=2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB，则△OAB的面积为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 联立直线和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后运用求根公式，求得A，B的坐标，由OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，求得p，由两点的距离公式可得OA，OB的长，利用三角形的面积公式计算即可得到．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由x+y=1与抛物线y²=2px，得y²+2py-2p=0，
解得y₁=-p+$\sqrt{{p^2}+2p}$，x₁=1+p-$\sqrt{{p^2}+2p}$，y₂=-p-$\sqrt{{p^2}+2p}$，x₂=1+p+$\sqrt{{p^2}+2p}$，
由OA⊥OB得，x₁x₂+y₁y₂=0，即[（1+p）²-（p²+2p）]+[p²-（p²+2p）]=0，
化简得2p=1，即p=$\frac{1}{2}$，
从而A（$\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}$，$\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$），B（$\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$，$\frac{{-1-\sqrt{5}}}{2}$），
|OA|²=x₁²+y₁²=5-2$\sqrt{5}$，|OB|²=x₂²+y₂²=5+2$\sqrt{5}$，
△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{25-20}$=$\frac{1}{2}\sqrt{5}$．
故选B．

点评 本题考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程和抛物线方程联立，求得交点，运用两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．