Question

1．设函数f（x）=（$\sqrt{3}$sinωx+cosωx）cosωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0）的最小正周期为4π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知a、b、c分别△ABC内角A、B、C的对边，满足（2a-c）cosB=bcosC，求角B的值，并求函数f（A）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用倍角公式、两角和差公式可得函数f（x）=$sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，利用$4π=\frac{2π}{2ω}$，解得ω，再利用正弦函数的单调性即可得出单调区间．
（II）利用正弦定理、两角和差公式、正弦函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=（$\sqrt{3}$sinωx+cosωx）cosωx-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin（2ωx）$+$\frac{1}{2}cos（2ωx）$=$sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，
∵f（x）的最小正周期为4π．
∴$4π=\frac{2π}{2ω}$，解得$ω=\frac{1}{4}$，
∴f（x）=$sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$，
由$-\frac{π}{2}+2kπ$≤$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z）．
解得$4kπ-\frac{4π}{3}$≤x≤$\frac{2π}{3}$+4kπ，
∴f（x）的单调递增区间$[4kπ-\frac{4π}{3}，4kπ+\frac{2π}{3}]$（k∈Z）；
（Ⅱ）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴$B=\frac{π}{3}$．
∵f（A）=$sin（\frac{1}{2}A+\frac{π}{6}）$，
$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜\frac{A}{2}+\frac{π}{6}$$＜\frac{π}{2}$，
∴$sin（\frac{1}{2}A+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{1}{2}，1）$，
∴函数f（x）的值域为f（A）∈$（\frac{1}{2}，1）$．

点评 本题考查了正弦定理、倍角公式、两角和差公式、正弦函数的单调性与周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．