Question

10．已知函数p（x）=lnx+1，q（x）=e^x，若q（x₁）=p（x₂）成立，则x₂-x₁的最小值为1．

Answer 1

分析 根据函数图象得出a＞0，y=a，a=lnx₂+1，x₂=e^a-1，a=e${\;}^{{x}_{1}}$，x₁=lna，构造函数g（a）=e^a-1-lna，a＞0，利用导数判断单调性，求解最小值即可．

解答 解：∵根据图形得出：a＞0，y=a，a=lnx₂+1，x₂=e^a-1，a=e${\;}^{{x}_{1}}$，x₁=lna，
∴x₂-x₁=g（a）=e^a-1-lna，a＞0，
∵g′（a）=e^a-1$-\frac{1}{a}$在（0，+∞）单调递增，
g（1）=0，g（x）＞0，x＞1；g（x）＜0，x＜1，
∴g（x）在（1，+∞）单调递增，在（-∞，1）单调递减，
g（x）的最小值为g（1）=e^1-1-ln1=1，
∴x₂-x₁的最小值为1，



故答案为：1

点评 本题考查了函数的图象的运用，数形结合的思想，构造函数，利用函数的思想求解最近距离问题，考查了学生解决问题的能力，属于中档题．