Question

2．已知$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$是平面内夹角为90°的两个单位向量，若向量$\overrightarrow c$满足$（\overrightarrow c-\overrightarrow a）•（\overrightarrow c-\overrightarrow b）=0$，则$|\overrightarrow c|$的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 作$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，连接AB，再作出以AB为直径的圆，在圆上取C点并连接OC，则根据已知条件知道$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，所以$|\overrightarrow c|$最大时，OC为该圆的直径，所以便得到$|\overrightarrow c|$的最大值为$\sqrt{2}$．

解答 解：∵向量$\overrightarrow c$满足$（\overrightarrow c-\overrightarrow a）•（\overrightarrow c-\overrightarrow b）=0$，
∴$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）⊥（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}）$；
∴如图设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，连接AB，再作出以AB为直径的圆，在圆上取C点并连接OC，
则根据已知条件知道$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，
所以$|\overrightarrow c|$最大时，OC为该圆的直径，
根据图形及已知条件，此时|$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{2}$，则$|\overrightarrow c|$的最大值为$\sqrt{2}$．
故选B

点评 本题考查两非零向量垂直的充要条件，圆上的点和直径两端点的连线互相垂直，以及向量的减法运算．