Question

9．已知双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞0）的中心为原点O，左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，点P是直线x=$\frac{{a}^{2}}{3}$上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足$\overrightarrow{P{F}_{2}}$•$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=0．问：若点P的纵坐标为1，过点P作动直线L，与双曲线右支交于不同的点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足$\frac{PM}{PN}$=$\frac{MH}{HN}$，证明点H恒在一条直线上．

Answer 1

分析 设双曲线E的半焦距为c，根据离心率为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，双曲线方程，即可求实数a的值，设点H（x，y），且过点P（$\frac{5}{3}$，1）的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁²=$\frac{4}{5}$（x₁²-5），y₂²=$\frac{4}{5}$（x₂²-5），设$\frac{PM}{PN}$=$\frac{MH}{HN}$=λ，求出坐标之间的关系，化简可得点H恒在定直线4x-3y-12=0上．

解答 证明：设双曲线E的半焦距为c，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{3\sqrt{5}}{5}}\\{{c}^{2}={a}^{2}+4}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{5}$．
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，直线x=$\frac{5}{3}$，点F₂（3，0）．
设设点H（x，y），点P（$\frac{5}{3}$，1）的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则
y₁²=$\frac{4}{5}$（x₁²-5），y₂²=$\frac{4}{5}$（x₂²-5）．
设$\frac{PM}{PN}$=$\frac{MH}{HN}$=λ，则（x₁-$\frac{5}{3}$，y₁-1）=λ（x₂-$\frac{5}{3}$，y₂-1），（x-x₁，y-y₁）=λ（x₂-x，y₂-y），
∴x₁-λx₂=$\frac{5}{3}$（1-λ）①，y₁-λy₂=1-λ②，x₁+λx₂=x（1-λ）③，y₁+λy₂=y（1+λ）④，
由①×③得x₁²-λ²x₂²=$\frac{5}{3}$（1-λ²）x⑤，②×④得y₁²-λy₂²=（1-λ²）y⑥，
将y₁²=$\frac{4}{5}$（x₁²-5），y₂²=$\frac{4}{5}$（x₂²-5）代入⑥，得y=$\frac{4}{5}×\frac{{{x}_{1}}^{2}-{λ}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{1-{λ}^{2}}$-4 ⑦
将⑤代入⑦，得y=$\frac{4}{3}$x-4．
∴点H恒在定直线4x-3y-12=0上

点评 本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．