Question

14．已知sinα-sinβ=$\frac{1}{3}$，cosα+cosβ=$\frac{3}{7}$，0＜α，β＜$\frac{π}{2}$，求sin$\frac{α+β}{2}$的值．

Answer 1

分析 将已知等式两边平方后相加，由二倍角的余弦函数公式即可得解．

解答 解：∵sinα-sinβ=$\frac{1}{3}$，两边平方可得：sin²α+sin²β-2sinαsinβ=$\frac{1}{9}$，①
cosα+cosβ=$\frac{3}{7}$，两边平方可得：cos²α+cos²β+2cosαcosβ=$\frac{9}{49}$，②
∴①+②可得：2+2cos（α+β）=$\frac{130}{441}$，可解得：cos（α+β）=-$\frac{377}{441}$=1-sin²$\frac{α+β}{2}$，
∴可得：sin²$\frac{α+β}{2}$=$\frac{818}{441}$，
∵0＜α，β＜$\frac{π}{2}$，∴0＜$\frac{α+β}{2}$＜$\frac{π}{2}$，
∴sin$\frac{α+β}{2}$=$\sqrt{\frac{818}{441}}$．

点评 本题主要考查了二倍角的正弦公式的应用，注意讨论角的范围，计算量比较大，属于基本知识的考查．