Question

4．如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁是正方形，△A₁CB是等边三角形，AC=AB=1，B₁C₁∥BC，BC=2B₁C₁
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面A₁C₁C
（Ⅱ）求多面体ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC的中点E，证明四边形CEB₁C₁为平行四边形，可得B₁E∥C₁C，从而可得B₁E∥面A₁C₁C，再证明AE∥面A₁C₁C，利用面面平行的判定，可得面B₁AE∥面A₁C₁C，从而可得AB₁∥面A₁C₁C；
（Ⅱ）先证明CD⊥平面ADC₁A₁，于是多面体ABC-A₁B₁C₁是由直三棱柱ABD-A₁B₁C₁和四棱锥C-ADC₁A₁组成的，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）证明：取BC的中点E，连接AE，C₁E，B₁E
∵B₁C₁∥BC，B₁C₁=$\frac{1}{2}$BC，∴B₁C₁∥EC，B₁C₁=EC
∴四边形CEB₁C₁为平行四边形，∴B₁E∥C₁C
∵C₁C?面A₁C₁C，B₁E?面A₁C₁C，∴B₁E∥面A₁C₁C…（8分）
∵B₁C₁∥BC，B₁C₁=$\frac{1}{2}$BC，∴B₁C₁∥BE，B₁C₁=BE
∴四边形BB₁C₁E为平行四边形，∴B₁B∥C₁E，且B₁B=C₁E
又∵ABB₁A₁是正方形，∴A₁A∥C₁E，且A₁A=C₁E
∴AEC₁A₁为平行四边形，∴AE∥A₁C₁，
∵A₁C₁?面A₁C₁C，AE?面A₁C₁C，∴AE∥面A₁C₁C…（10分）
∵AE∩B₁E=E，∴面B₁AE∥面A₁C₁C
∵AB₁?面B₁AE，∴AB₁∥面A₁C₁C；
（Ⅱ）在正方形ABB₁A₁中，AB₁=$\sqrt{2}$，又△A₁BC是等边三角形，
∴A₁C=BC=$\sqrt{2}$，
∴AC²+AA₁²=A₁C²，AB²+AC²=BC²，
于是AA₁⊥AC，AC⊥AB，
又AA₁⊥AB，∴AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥CD，
又CD⊥AD，AD∩AA₁=A，
∴CD⊥平面ADC₁A₁，
于是多面体ABC-A₁B₁C₁是由直三棱柱ABD-A₁B₁C₁和四棱锥C-ADC₁A₁组成的．
又直三棱柱ABD-A₁B₁C₁的体积为$\frac{1}{2}×（{\frac{1}{2}×1×1}）×1=\frac{1}{4}$，
四棱锥C-ADC₁A₁的体积为$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{6}$，
故多面体ABC-A₁B₁C₁的体积为$\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}$．…（13分）

点评 本题考查线面垂直，考查线面平行，考查多面体ABC-A₁B₁C₁的体积，解题的关键是掌握线面垂直的判定方法，正确运用面面平行判断线面平行，属于中档题．