Question

17．设O、A、B、C为平面上四个点，$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$且$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=-1，则|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{c}$|=$3\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 把$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$直接平方、移项后平方，再利用$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=-1，可求得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=-1，
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\\;\overrightarrow{b}\\;{|}^{2}+|\\;\overrightarrow{c}{|}^{2}-6=0$$|\overrightarrow{b}{|}^{2}+|\overrightarrow{c}{|}^{2}-6=0$，①
把$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{c}$两边平方得${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}={\overrightarrow{c}}^{2}$，②
由①知${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}=6-{\overrightarrow{c}}^{2}$，③
由②③知，$|\overrightarrow{c}{|}^{2}=2$，
$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{2}$，
把$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{b}$两边平方得${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}-2={\overrightarrow{b}}^{2}$，
$|\overrightarrow{a}{|}^{2}=|\overrightarrow{b}{|}^{2}=2$，
∴$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$，
则|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{c}$|=$3\sqrt{2}$，
故答案为$3\sqrt{2}\\;\\;\$．

点评 本题考查向量的数量积的运算，向量的模的求法，关键是将条件进行转化变形．