Question

3．抛物线y²=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，若A（-1，0），则$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，则$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$=$\frac{|PM|}{|PA|}$=sin∠PAM，故当PA和抛物线相切时，$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$最小．再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$的最小值．

解答 解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x=-1．
过点P作PM垂直于准线，M为垂足，
则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，
则$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$=$\frac{|PM|}{|PA|}$=sin∠PAM，∠PAM 为锐角．
故当∠PAM 最小时，$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$最小，
故当PA和抛物线相切时，$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$最小．
设切点P（a，2$\sqrt{a}$），则PA的斜率为$\frac{2\sqrt{a}-0}{a+1}$=（2$\sqrt{x}$）′=$\frac{1}{\sqrt{a}}$，
求得a=1，可得P（1，2），∴|PM|=2|PA|=2$\sqrt{2}$，
∴sin∠PAM=$\frac{|PM|}{|PA|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、导数的几何意义，属于中档题．