Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，$BC=\frac{1}{2}AD=1$，$CD=\sqrt{3}$．
（1）求证：平面MQB⊥平面PAD；
（2）若满足BM⊥PC，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；
（3）若二面角M-BQ-C大小为30°，求QM的长．

Answer 1

分析 （1）证明QB⊥AD，根据平面PAD⊥平面ABCD可得BQ⊥平面PAD，即可证明平面MQB⊥平面PAD；
（2）确定PQ⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{AP}=（-1，0，\sqrt{3}），\overrightarrow{BM}=（-\frac{6}{7}，-\frac{{\sqrt{3}}}{7}，\frac{{\sqrt{3}}}{7}）$，利用向量的夹角公式求异面直线AP与BM所成角的余弦值；
（3）根据二面角M-BQ-C大小为30°，利用向量的夹角公式，即可求QM的长．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，
∴CD∥BQ．                                 …（1分）
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，…（2分）
∴BQ⊥平面PAD．                              …（3分）
∵BQ?平面MQB，
∴平面MQB⊥平面PAD．          …（4分）
（2）解：∵PA=PD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．                …（5分）
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则Q（0，0，0），A（1，0，0），$P（0，0，\sqrt{3}）$，$B（0，\sqrt{3}，0）$，$C（-1，\sqrt{3}，0）$
由 $\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PC}=λ（-1，\sqrt{3}，-\sqrt{3}）$，且0≤λ≤1，得$M（-λ，\sqrt{3}λ，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）$
∵BM⊥PC，
∴$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{PC}=（-λ，\sqrt{3}λ-\sqrt{3}，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）•（-1，\sqrt{3}，-\sqrt{3}）=7λ-6=0$…（6分）
∴$\overrightarrow{AP}=（-1，0，\sqrt{3}），\overrightarrow{BM}=（-\frac{6}{7}，-\frac{{\sqrt{3}}}{7}，\frac{{\sqrt{3}}}{7}）$
设异面直线AP与BM所成角为θ，则cosθ=$|cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BM}＞|=|\frac{{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BM}}}{{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{BM}|}}|$=$\frac{9}{84}\sqrt{42}$…（9分）
∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为$\frac{9}{84}\sqrt{42}$…（10分），
（3）解：由（2）知平面BQC的法向量为$\overrightarrow n=（0，0，1）$…（11分）
由 $\overrightarrow{QM}=λ\overrightarrow{QP}+（1-λ）\overrightarrow{QC}$，且0≤λ≤1，得$\overrightarrow{QM}=（λ-1，\sqrt{3}（1-λ），\sqrt{3}λ）$
又$\overrightarrow{QB}=（0，\sqrt{3}，0）$，
∴平面MBQ法向量为$\overrightarrow m=（\sqrt{3}，0，\frac{1-λ}{λ}）$．                   …（13分）
∵二面角M-BQ-C为30°，∴$cos{30°}=|\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow m}|}}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$λ=\frac{1}{2}$．∴|QM|=$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$…（15分）

点评 本题考查平面与平面垂直，考查异面直线AP与BM所成角的余弦值，考查二面角大小的确定，考查向量知识的运用，综合性强．