Question

18．在边长为1的正方体中，E，F，G，H分别为A₁B₁，C₁D₁，AB，CD的中点，点P从G出发，沿折线GBCH匀速运动，点Q从H出发，沿折线HDAG匀速运动，且点P与点Q运动的速度相等，记E，F，P，Q四点为顶点的三棱锥的体积为V，点P运动的路程为x，在0≤x≤2时，V与x的图象应为（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 运用上底面的中心O．确定面OEF，分割为等体积的三棱锥，它的底面积为定值，求解高即可
分类讨论得出当0$≤x≤\frac{1}{2}$时，V_PEFQ═$\frac{x}{3}$，当$\frac{1}{2}＜$x$≤\frac{3}{2}$时，V_PEFQ=$\frac{1}{6}$=定值．当$\frac{3}{2}$＜x≤2时，V_PEFQ=$\frac{2}{3}$$-\frac{1}{3}$x，
判断即可得出函数图象．

解答 解：（1）当0$≤x≤\frac{1}{2}$时，点P与点Q运动的速度相等根据下图得出：面OEF把几何体PEFQ分割为相等的几何体，
∵S_△OEF=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，P到面OEF的距离为x，
V_PEFQ=2V_P-OEF=2×$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}$x=2•$\frac{x}{6}$=$\frac{x}{3}$，
$\frac{2}{3}$
（2）当$\frac{1}{2}＜$x$≤\frac{3}{2}$时，P在AB上，Q在C₁D₁上，P到$\frac{1}{2}$，S_△OEF=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
V_PEFQ=2V_P-OEF=2×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$=定值．
（3）当$\frac{3}{2}$＜x≤2时，S_△OEF=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，P到面OEF的距离为2-x，
V_PEFQ=2V_P-OEF=2×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$（2-x）=$\frac{2}{3}$$-\frac{1}{3}$x，


V=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{3}，0≤x＜\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{6}，\frac{1}{2}≤x＜\frac{3}{2}}\\{\frac{2}{3}-\frac{1}{3}x，\frac{3}{2}≤x≤2}\end{array}\right.$
故选：C

点评 本题难度较大，考查了学生的空间能力，计算能力，运用几何图形分析问题的能力，分段函数的性质，图象，属于难题．