Question

3．已知正数a，b，c满足a²+b²+c²=6．
（Ⅰ）求a+2b+c的最大值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式|x+1|+|x+m|≥M恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分析题目已知a²+b²+c²=6，求a+2b+c的最大值，考虑到柯西不等式（a²+b²+c²）（1²+2²+1²）≥（a+2b+c）²，即可得到答案．
（Ⅱ）利用绝对值不等式的几何意义可求得|x+1|+|x+m|≥|x+1-（x+m）|=|m-1|，由题意及（Ⅰ）得，|m-1|≥6，从而可求得实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为已知a、b、c是实数，且a²+b²+c²=6，
根据柯西不等式有（a²+b²+c²）（1²+2²+1²）≥（a+2b+c）²
故（a+2b+c）²≤36，即a+2b+c≤6
即a+2b+c的最大值为6，
当且仅当$\frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{1}$，即当a=c=1，b=2时取得最大值．…（4分）
（Ⅱ）因为|x+1|+|x+m|≥|x+1-（x+m）|=|m-1|，
由题意及（Ⅰ）得，|m-1|≥6，得m≥7或m≤-5．
综上，实数m的取值范围为m≥7或m≤-5．…（7分）

点评 本题考查柯西不等式，考查绝对值不等式的解法，掌握绝对值不等式的几何意义是解决问题的关键，属于中档题．