Question

13．P是△AOB所在平面上一点，且在AB的垂直平分线上，若|OA|=3，|OB|=2，则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． -3
• C． -$\frac{5}{2}$
• D． 5

Answer 1

分析 利用DP⊥AB可知，$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{AB}=0$，再利用向量加法和减法的三角形法则以及平行四边形法则，将$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$用$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$和$\overrightarrow{DP}$表示，即可求得答案．

解答 解：设线段AB的垂直平分线与AB的交点为D，则D为AB的中点，
根据向量加法的平行四边形法则，则有$\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，
∵DP⊥AB，
∴$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{AB}=0$，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OP}•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$=（$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DP}$）•（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）
=[$\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$+$\overrightarrow{DP}$]•（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）
=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$$+\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{AB}$
=$\frac{1}{2}（|\overrightarrow{OB}{|}^{2}-|\overrightarrow{OA}{|}^{2}）$
=$\frac{1}{2}（4-9）=-\frac{5}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量数量积的运算，解决平面向量数量积的问题，一般有三种方法：向量转化法，坐标化法，特殊值法．运用转化法求解的关键是运用向量加法和减法的三角形法则或平行四边形法则，将要求的向量一步一步向已知的向量转化．属于中档题．