Question

6．设M是△ABC的重心，若A=$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=3$，则$|\overrightarrow{AM}|$的最小值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由A=$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=3$，可求得|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=6，由点M是△ABC的重心，得$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，两边平方后利用不等式求得最值．

解答 解：∵A=$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=3$，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos$\frac{π}{3}$=3，即|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=6，
由点M是△ABC的重心，∴$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
∴$|\overrightarrow{AM}{|}^{2}=\frac{1}{9}（|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}）$=$\frac{1}{9}（|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}+6）$
$≥\frac{1}{9}（2|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|+6）$=$\frac{1}{9}$（2×6+6）=2，
∴|$\overrightarrow{AM}$|≥$\sqrt{2}$，当且仅当|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{6}$时取等号，
∴|$\overrightarrow{AM}$|的最小值为$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查平面向量数量积的运算、不等式求最值，注意不等式求最值时适用的条件，是中档题．