Question

16．如图，梯形ABCD中，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，且AF=BF=BC=1，DE=$\sqrt{2}$，现将△ABF，△CDE分别沿BF与CE翻折，使点A与点D重合．
（Ⅰ）设面ABF与面CDE相交于直线l，求证：l∥CE；
（Ⅱ）试类比求解三角形的内切圆（与三角形各边都相切）半径的方法，求出四棱锥A-BCEF的内切球（与四棱锥各个面都相切）的半径．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得CE∥BF，由线面平行的判定定理得到CE与平面ABF平行，再由线面平行的性质定理得到l∥CE；
（Ⅱ）根据线面垂直的判定定理，可得AF⊥平面BCEF，故四棱锥A-BCEF是以平面BCEF为底面，以AF为高的棱锥，求出棱锥的体积，类比求解三角形的内切圆（与三角形各边都相切）半径的方法，可得答案．

解答 证明：（Ⅰ）∵CECE∥BF，CE?面ABF，BF?面ABF
∴CE∥面ABF
又∵CE?面ACE，面ABF∩面ACE=l．
∴l∥CE…（6分）
（Ⅱ）∵AF=BF=BC=1，DE=$\sqrt{2}$，
∴AE²=DE²=AF²+FE²，
即AF⊥EF，
又∵BF⊥AD于F，即AF⊥BF，EF，BF?平面BCEF，EF∩BF=F，
∴AF⊥平面BCEF，
故四棱锥A-BCEF是以平面BCEF为底面，以AF为高的棱锥，
故四棱锥A-BCEF的体积V=$\frac{1}{3}$×1×1×1=$\frac{1}{3}$，
四棱锥A-BCEF的表面积S=$\frac{1}{2}$（1+1+1+$\sqrt{2}$）×1+$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{2}$=2+$\sqrt{2}$，
类比求解三角形的内切圆（与三角形各边都相切）半径的方法，
设四棱锥A-BCEF的内切球半径为R，
则V=$\frac{1}{3}$SR，
故R=$\frac{2}{2+\sqrt{2}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查了线面平行、类比推理及棱锥的体积表面积公式，是立体几何的简单综合应用，难度中档．