Question

11．数列{a_n}中，若S_n=n²a_n，a₁=$\frac{1}{2}$，则a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．

Answer 1

分析 利用a_n+1=S_n+1-S_n，整理出a_n的递推式，进而用叠乘法求得a_n．

解答 解：∵S_n=n²a_n，∴S_n+1=（n+1）²a_n+1，
两式相减得：a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n，
∴n²a_n=n（n+2）a_n+1，即na_n=（n+2）a_n+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）-1}{（n+1）+1}$，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$•$\frac{n-2}{n}$•…•$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{n-1}{n+1}$•$\frac{n-2}{n}$•…•$\frac{2}{4}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
故答案为：$\frac{1}{n（n+1）}$．

点评 本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式是高考中常考的题型，涉及数列的通项公式，求和问题，数列与不等式的综合等问题，注意解题方法的积累，属于中档题．