Question

4．已知双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线C₂：x=$\frac{1}{8}$y²的焦点重合，直线l为bx-ay+8=0，P为C₂上一个动点，P到直线l的距离为d₁，到C₂准线的距离为d₂，当d₁+d₂的最小值为5时，C₁的方程为（　　）

• A． y²-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1
• D． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 利用双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线C₂：x=$\frac{1}{8}$y²的焦点重合，可得a²+b²=4，利用P为C₂上一个动点，P到直线l的距离为d₁，到C₂准线的距离为d₂，d₁+d₂的最小值为5，根据抛物线的定义，可得抛物线的焦点到直线的距离为5，求出a，b，可得双曲线的方程．

解答 解：∵双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线C₂：x=$\frac{1}{8}$y²的焦点重合，
∴a²+b²=4，
∵P为C₂上一个动点，P到直线l的距离为d₁，到C₂准线的距离为d₂，d₁+d₂的最小值为5，
∴抛物线的焦点到直线的距离为5，
∴$\frac{|2b+8|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=5，
∴b=1，∴a=$\sqrt{3}$，
∴C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1$．
故选：C．

点评 本题考查抛物线、双曲线的性质，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，正确转化是关键．