Question

16．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE=CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AE}$，则λ+μ的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 如图所示，建立直角坐标系．不妨设$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{AE}$=（-1，1），$\overrightarrow{AP}$=（cosθ，sinθ），利用向量$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AE}$，可得λ+μ=2sinθ+cosθ，再利用两角和差的正弦公式及其有界性即可得出．

解答 解：如图所示，建立直角坐标系．
不妨设$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{AE}$=（-1，1），
$\overrightarrow{AP}$=（cosθ，sinθ），
∵向量$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AE}$，
∴（cosθ，sinθ）=λ（1，0）+μ（-1，1）=（λ-μ，μ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ-μ=cosθ}\\{μ=sinθ}\end{array}\right.$．θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．
当$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$时，λ=1，μ=0，此时λ+μ取得最小值，最小值是1．
故答案为：1．

点评 本题考查了向量的坐标运算、两角和差的正弦公式及其有界性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和解决问题的能力，属于中档题．