Question

11．已知函数f（x）=x-ln（x+a）（a＞0）．
（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）单调递增，求a取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为0，且当x≥0时，f（x）≤kx²，求k的最小值．

Answer 1

分析 （I）求出函数的定义域，红丝带导数，求出极值点，利用函数的单调性求解a的范围．
（II）由（I）知，求出f（x）_min时的a值，利用条件当x≥0时f（x）≤kx²，转化为当x≥0时，x-ln（x+1）≤kx²成立，当k≤0时，当k＞0时，分别判断求解．（1）当$k≥\frac{1}{2}$时，（2）当$0＜k＜\frac{1}{2}$时，利用函数的单调性推出K的范围．

解答 解：（I）函数的定义域为（-a，+∞）．$f'（x）=\frac{x+a-1}{x+a}（x＞-a）$，…（1分）
由f'（x）=0⇒x=1-a，
因为函数f（x）在（0，+∞）为增函数．
所以1-a≤0，从而a≥1…（4分）
（II）由（I）知，函数f（x）在（-a，1-a）为减函数，在（1-a，+∞）为增函数．
所以f（x）_min=f（1-a）=1-a=0得a=1…（6分）
所以当x≥0时f（x）≤kx²即是当x≥0时，x-ln（x+1）≤kx²成立
当k≤0时，因为f（1）=1-ln2＞0所以k≤0不合题意…（7分）
当k＞0时，令g（x）=f（x）-kx²=x-ln（x+1）-kx²（x≥0）$g'（x）=\frac{-x[2kx-（1-2k）]}{x+1}$，
令g'（x）=0得${x_1}=0，{x_2}=\frac{1}{2k}-1＞-1$…（8分）
（1）当$k≥\frac{1}{2}$时，g（x）在（0，+∞）单调递减，
于是g（x）≤g（0）=0成立．所以$k≥\frac{1}{2}$适合题意…（10分）
（2）当$0＜k＜\frac{1}{2}$时，g（x）在$（0，\frac{1}{2k}-1）$单调递增，
所以当$x∈（0，\frac{1}{2k}-1）$时，g（x）＞g（0）=0，
故$0＜k＜\frac{1}{2}$不合题意．综上：$k≥\frac{1}{2}$…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查分类讨论以及转化思想的应用．