Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形且∠DAB=60°，O为AD中点．
（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面POB⊥平面PAD；
（Ⅱ）试问在线段BC上是否存在点M，使DM∥面POB，如存在，指出M的位置，如不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可证明PO⊥AD，OB⊥AD，从而可证AD⊥面POB，又AD?面PAD从而可证面POB⊥面PAD．
（Ⅱ）取M为BC的中点．则$\left.\begin{array}{l}BM∥OD\\ BM=OD\end{array}\right\}⇒BMDO为平行四边形$，可证DM∥OB，从而可证DM∥面POB．

解答 解：（Ⅰ）∵PA=PD，O为AD中点，∴PO⊥AD
又∵ABCD为菱形且∠DAB=60°∴OB⊥AD
∵PO∩OB=O∴AD⊥面POB
∵AD?面PAD∴面POB⊥面PAD  …（6分）
（Ⅱ）存在，M为BC的中点．
证明如下：$\left.\begin{array}{l}BM∥OD\\ BM=OD\end{array}\right\}⇒BMDO为平行四边形$，
故DM∥OB，而OB?面POB，DM?面POB，
所以，DM∥面POB…（12分）．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的性质，平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．