Question

12．已知向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$两个不共线．
（1）若$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=6$\overrightarrow{{e}_{1}}$-8$\overrightarrow{{e}_{2}}$，试判断$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$是否共线；
（2）若$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=6$\overrightarrow{{e}_{1}}$+23$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=4（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$），求证：A、B、D三点共线．

Answer 1

分析 （1）观察向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$的系数，分析不存在不存在常数λ使$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow{b}$成立；
（2）求出$\overrightarrow{BD}$，观察与$\overrightarrow{AB}$的关系．

解答 解：（1）因为已知向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$两个不共线，并且$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=6$\overrightarrow{{e}_{1}}$-8$\overrightarrow{{e}_{2}}$，所以不存在常数λ使$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow{b}$，所以$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$不共线；
（2）证明：
因为$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=6$\overrightarrow{{e}_{1}}$+23$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=4（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$），所以$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$=$10\overrightarrow{{e}_{1}}+15\overrightarrow{{e}_{2}}=5（2\overrightarrow{{e}_{1}}+3\overrightarrow{{e}_{2}}）=5\overrightarrow{AB}$，
所以$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BD}$共线，又有公共点B，所以A、B、D三点共线．

点评 本题考查了平面向量共线基本道理的运用；利用向量证明三点共线，只要证明向量共线并且有公共点即可．