Question

7．已知数列{a_n}的前n和S_n=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{5}{2}$n，数列{b_n}的通项公式b_n=5n+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{b}_{n}}$，求证：$\sum_{i=1}^{n}$c_i＜$\frac{2}{25}$．

Answer 1

分析 （1）运用递推关系式得出当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，验证n=1，
（2）求解C_n=$\frac{1}{（3n+1）（5n+2）}$，放缩得出＜$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{（3n+1）^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{5}$（$\frac{1}{3n-\frac{1}{2}}$$-\frac{1}{3n+\frac{5}{2}}$）求解即可．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=$\frac{3}{2}$×1²$+\frac{5}{2}$×1=4，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{5}{2}$n-$\frac{3}{2}$（n-1）²+$\frac{5}{2}$（n-1）=3n+1，
∵当n=1时，3×1+1=4，
∴a_n=3n+1
（2）∵C_n=$\frac{1}{（3n+1）（5n+2）}$=$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{（3n+1）^{2}}$＜$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{（3n+1）^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{5}$（$\frac{1}{3n-\frac{1}{2}}$$-\frac{1}{3n+\frac{5}{2}}$）
∴$\sum_{i=1}^{n}$c_i＜$\frac{1}{5}$（$\frac{1}{\frac{5}{2}}$$-\frac{1}{\frac{11}{2}}$+$\frac{1}{\frac{11}{2}}$$-\frac{1}{\frac{17}{2}}$+…+$\frac{1}{3n-\frac{1}{2}}$$-\frac{1}{3n+\frac{5}{2}}$）=$\frac{1}{5}$（$\frac{2}{5}$$-\frac{1}{3n+\frac{5}{2}}$）$＜\frac{1}{5}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{2}{25}$．

点评 本题考查了数列的递推关系式的运用，放缩，裂项求解证明不等式即可，难度较大，属于难题．