Question

17．过椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则$\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}$的值为（　　）

• A． $\frac{1}{8}$
• B． $\frac{1}{6}$
• C． 1
• D． $\frac{7}{12}$

Answer 1

分析 当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，推导出$\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}$=$\frac{7}{12}$；当直线AB的斜率存在时，设AB：y=k（x-1）（k≠0），CD：y=-$\frac{1}{k}$（x-1）．分别利用弦长公式求出|AB|、|CD|的长度，由此能推导出$\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}$=$\frac{7}{12}$为定值．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得椭圆的右焦点为F（1，0），
当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，
则CD：y=0．此时|AB|=3，|CD|=4，
则$\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$；
当直线AB的斜率存在时，
设AB：y=k（x-1）（k≠0），则 CD：y=-$\frac{1}{k}$（x-1）．
又设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，
消去y并化简得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$，
由题知，直线CD的斜率为-$\frac{1}{k}$，
同理可得|CD|=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{4+3{k}^{2}}$．
∴$\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}$=$\frac{7（{k}^{2}+1）}{12（{k}^{2}+1）}=\frac{7}{12}$为定值．
故选：D．

点评 本题考查定值的证明，考查弦长公式的运用，体现了分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，难度较大．