Question

5．已知数列{a_n}是等差数列且公差d＞0，n∈N^*，a₁=2，a₃为a₁和a₉的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{2}{{n（{{a_n}+2}）}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=2，a₃为a₁和a₉的等比中项，
∴${a_3}^2={a_1}{a_9}$，即（2+2d）²=2（2+8d），
化简得 d²=2d，
∵d＞0，解得d=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n；
（Ⅱ）${b_n}=\frac{2}{{n（{{a_n}+2}）}}$=$\frac{2}{{n（{2n+2}）}}$=$\frac{1}{{n（{n+1}）}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=$（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．